« À M. la Princesse Élisabeth, etc. Touchant le Problème : trois cercles étant donnez, trouver le quatrième qui touche les trois », dit Clerselier, sans donner de date. Mais la réponse d’Élisabeth est datée du 21 novembre, lettre CCCXXVII ci-après ; d’autre part, nous savons, par une lettre du 21 octobre, la CCCXX ci-avant (p. 26, l. 24), qu’à cette date la princesse avait le problème en mains. La présente a donc été écrite dans l’intervalle de ces deux dates, et il est plausible de la rapprocher plutôt du 21 novembre.
Madame,
Ayant ſceu de Monſieur de Pollot que Voſtre Alteſſe a pris la peine de chercher la queſtion des trois cercles, & qu’elle a trouué le moyen de la ſoudre, en ne ſuppoſant qu’une quantité inconnuë, i’ai pensé que mon deuoir m’obligeoit de mettre ici la raiſon pourquoi i’en avois propoſé pluſieurs, et de quelle façon ie les démeſle.
I’obſerue touſiours, en cherchant vne queſtion de Geometrie, que les lignes, dont ie me ſers pour la trouuer, ſoient paralleles, ou s’entrecouppent à angles droits, le plus qu’il eſt poſſible ; & ie ne conſidere point d’autres Theoremes, ſinon que les coſtez des triangles ſemblables ont ſemblable proportion entr’eux, & que, dans les triangles rectangles, le quarré de la baſe eſt égal aux deux quarrez des coſtez. Et ie ne crains point de ſuppoſer pluſieurs quantitez inconnuës, pour reduire la queſtion à tels termes, qu’elle ne depende que de ces deux Theoremes ; au contraire, i’aime mieux en ſuppoſer plus que moins. Car, par ce moyen, ie voy plus clairement tout ce que ie fais, & en les demeſlant ie trouue mieux les plus courts chemins, & m’exempte de multiplications ſuperfluës ; au lieu que, ſi l’on tire d’autres lignes, & qu’on ſe ſerue d’autres Theoremes, bien qu’il puiſſe arriuer, par hazard, que le chemin qu’on trouuera ſoit plus court que le mien, toutesfois il arriue quaſi touſiours le contraire. Et on ne voit point ſi bien ce qu’on fait, ſi ce n’eſt qu’on ait la demonſtration du Theoreme dont on ſe ſert ſoit prefente en l’eſprit ; & en ce cas on trouue, quaſi touſiours, qu’il depend de la conſideration de quelques triangles, qui ſont ou rectangles, ou ſemblables entr’eux, & ainſi on retombe dans le chemin que ie tiens.
Par exemple, ſi on veut chercher cette queſtion des trois cercles, par l’aide d’vn Theoreme qui enſeigne à trouuer l’aire d’vn triangle par ſes trois coſtez, on n’a beſoin de ſuppoſer qu’vne quantité inconnuë.
Car ſi A, B, C ſont les centres des trois cercles donnez, & D le centre du cherché, les trois coſtez du triangle ABC ſont donnez, & les trois lignes AD, BD, CD ſont compoſées des trois rayons des cercles donnez, ioints au rayon du cercle cherché, ſi bien que, ſuppoſant x pour ce rayon, on a tous les coſtez des triangles ABD, ACD, BCD ; & par conſequent on peut auoir leurs aires, qui, iointes enſemble, font égales à l’aire du triangle donné ABC ; & on peut, par cette équation, venir à la connoiſance du rayon x, qui ſeul eſt requis pour la ſolution de la queſtion. Mais ce chemin me ſemble conduire à tant de multiplications ſuperfluës, que ie ne voudrois pas entreprendre de les demeſler en trois mois. C’eft pourquoy, au lieu des deux lignes obliques
les coſtez des trois triangles rectangles ADF, BDG, CDF, qui me donnent trois équations, pour ce qu’en chacun d’eux le quarré de la baſe eft égal aux deux quarrez des coſtez.
Apres auoir ainſi fait autant d’équations que i’ay ſuppoſé de quantitez inconnuës, ie confidere ſi, par chaque équation, i’en puis trouuer vne en termes aſſez fimples ; & ſi ie ne le puis, ie taſche d’en venir à bout, en ioignant deux ou pluſieurs équations par l’addition ou ſouſtraction ; & enfin, lors que cela ne ſuffit pas, i’examine ſeulement s’il ne ſera point mieux de changer les termes en quelque façon. Car, en faisant cét examen auec addreſſe, on rencontre aiſément les plus courts chemins, & on en peut eſſayer vne infinité en fort peu de temps.
Ainſi, en cét exemple, ie ſuppoſe que les trois baſes des triangles rectangles ſont
et, faiſant AE d, BE e, CF f,
Clerselier emploie, comme signe d’égalité, les deux barres verticales, ||, au lieu du signe ɔ, usité par Descartes. i’ay pour les coſtez des meſmes triangles :
Puis, faiſant le quarré de chacune de ces baſes égal au quarré des deux coſtez, i’ay les trois équations ſuiuantes :
& ie voy que, par l’vne d’elles toute ſeule, ie ne puis trouuer aucune des quantitez inconnuës, ſans en tirer la racine quarrée, ce qui embarraſſeroit trop la queſtion. C’eſt pourquoy ie viens au ſecond moyen, qui eſt de ioindre deux équations enſemble, & i’apperçois incontinent que, les termes xx, yy & zz eſtant ſemblables en toutes trois, ſi i’en oſte vne d’vne autre, laquelle ie voudray, ils s’effaceront, & ainſi ie n'auray plus de termes inconnus que x, y & z tous ſimples. Ie voy auſſi que, ſi i’oſte la ſeconde de la premiere ou de la troiſiéme, i’auray tous ces trois termes x, y & z ; mais que, ſi i’oſte la premiere de la troiſiéme, ie n’auray que x & z. Ie choiſis donc ce dernier chemin, & ie trouue
cc + 2cx — aa — 2ax ff + 2fz — dd + 2dz,
ou bien z = c c − a a + d d − f f + 2 c x − 2 a x 2 d + 2 f {\displaystyle z={\frac {cc-aa+dd-ff+2cx-2ax}{2d+2f}}} ,
ou bien 1 2 d − 1 2 f + c c − a a + 2 c x − 2 a x 2 d + 2 f {\displaystyle {\frac {1}{2}}d-{\frac {1}{2}}f+{\frac {cc-aa+2cx-2ax}{2d+2f}}} .
Puis, oſtant la ſeconde équation de la premiere ou de la troiſiéme (car l’vn reuient à l’autre), & au lieu de z mettant les termes que ie viens de trouuer, i’ay par la premiere & la ſeconde :
ou bien 2 e y = e e + a a + 2 a x − b b − 2 b x − d d + {\displaystyle 2ey=ee+aa+2ax-bb-2bx-dd+}
ou bien y = 1 2 e − b b 2 e − b x e − d f 2 e + c c d + a a f + 2 c d x + 2 a f x 2 e d + 2 e f {\displaystyle y={\frac {1}{2}}e-{\frac {bb}{2e}}-{\frac {bx}{e}}-{\frac {df}{2e}}+{\frac {ccd+aaf+2cdx+2afx}{2ed+2ef}}} .
Enfin, retournant à l’vne des trois premieres équations, & au lieu d’y ou de z mettant les quantitez qui leur ſont égales, & les quarrez de ces quantitez pour yy & zz, on trouue vne équation où il n’y a que x & xx inconnus ; de façon que le Probleme eſt plan, & il n’eſt plus beſoin de paſſer outre. Car le reſte ne ſert point pour cultiuer ou recréer l’eſprit, mais feulement pour exercer la patience de quelque calculateur laborieux. Meſme i’ay peur de m’eſtre rendu icy ennuyeux à Voſtre Alteſſe, pour ce que ie me ſuis arreſté à écrire des choſes qu’elle ſçauoit ſans doute mieux que moy, & qui ſont faciles, mais qui ſont neantmoins les clefs de mon Algebre. Ie la ſupplie tres humblement de croire que c’eſt la deuotion que i’ay à l’honorer, qui m’y a porté, & que ie ſuis,
Madame,
De V. A.
Le tres-humble & tres-obeïſſant
ſeruiteur, descartes.
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