« À M. la Princesse Élisabeth, etc. », dit Clerselier, sans donner de date. Mais Descartes répond à la CCCXXVII, du 21 novembre, et on peut croire qu’il n’a point fait attendre sa réponse. Elle serait donc de quelques jours après.
Madame,
La ſolution qu’il a plû à Voſtre Alteſſe me faire l’honneur de m’enuoyer, eſt ſi iuſte, qu’il ne s’y peut rien deſirer dauantage ; et ie n’ay pas ſeulement eſté ſurpris d’eſtonnement, en la voyant, mais ie ne puis m’abſtenir d’adioufter que i’ay eſté auſſi rauy de ioye, & ay pris de la vanité de voir que le calcul, dont ſe ſert Voſtre Alteſſe, eft entierement ſemblable à celuy que i’ay propoſé dans ma Geometrie. L’experience m’auoit fait connoiſtre que la plupart des eſprits qui ont de la facilité à entendre les raiſonnemens de la Metaphyſique, ne peuuent pas conceuoir ceux de l’Algebre, & reciproquement, que ceux qui comprennent aiſément ceux-cy, ſont d’ordinaire incapables des autres ; et ie ne voy que celuy de Votre Alteſſe, auquel toutes choſes ſont également faciles. Il eſt vray que i’en auois deſia tant de preuues, que ie n’en pouuois aucunement douter ; mais ie craignois ſeulement que la patience, qui eſt neceſſaire pour ſurmonter, au commencement, les difficultez du calcul, ne luy manquaſt. Car c’eſt vne qualité qui eſt extremement rare aux excellens eſprits, & aux perſonnes de grande condition.
Maintenant que cette difficulté eſt ſurmontée, elle aura beaucoup plus de plaiſir au reſte ; & en ſubſtituant vne ſeule lettre au lieu de pluſieurs, ainſi qu’elle a fait icy fort ſouuent, le calcul ne luy ſera pas ennuyeux. C’eſt vne choſe qu’on peut quaſi touſiours faire, lors qu’on veut ſeulement voir de quelle nature eſft vne queſtion, c’eſt à dire ſi elle ſe peut ſoudre auec la regle & le compas, ou s’il y faut employer quelques autres lignes courbes du premier ou du 2 genre &c., & quel eſt le chemin pour la trouuer ; qui eſt ce de quoy ie me contente ordinairement, touchant les queſtions particulieres. Car il me ſemble que le ſurplus, qui conſiſte à chercher la conſtruction & la demonſtration par les propoſitions d’Euclide, en cachant le proceder de l’Algebre, n’eſt qu’vn amuſement pour les petits Geometres, qui ne requiert pas beaucoup d’eſprit ny de ſcience. Mais lors qu’on a quelque queſtion qu’on veut acheuer, pour en faire vn Theoreme qui ſerue de regle generale pour en ſoudre pluſieurs autres ſemblables, il eſt beſoin de retenir iuſques à la fin toutes les meſmes lettres qu’on a poſées au commencement ; ou bien, ſi on en change quelques-vnes pour faciliter le calcul, il les faut remettre par apres, eſtant à la fin, à cauſe qu’ordinairement pluſieurs s’effacent l’vne contre l’autre, ce qui ne ſe peut voir, lors qu’on les a changées. Il eſt bon auſfſſi alors d’obſeruer que les quantitez, qu’on denomme par les lettres, ayent ſemblable rapport les vnes aux autres, le plus qu’il eſt poſſible ; cela rend le Theoreme plus beau & plus court, pour ce que ce qui s’enonce de l’vne de ces quantitez, s’enonce en meſme façon des autres, & empeſche qu’on ne puiſſe faillir au calcul, pour ce que les lettres qui ſignifient des quantitez qui ont meſme rapport, s’y doiuent trouuer diſtribuées en meſme façon ; & quand cela manque, on reconnoiſt ſon erreur.
Ainfi, pour trouuer vn Theoreme qui enſeigne quel eſt le rayon du cercle, qui touche les trois donnez par poſition, il ne faudroit pas, en cét exemple, poſer les trois lettres a, b, c, pour les lignes AD, DC, | DB, mais pour les lignes AB, AC & BC, pour ce que ces dernieres ont meſme rapport l’vne que l’autre aux trois AH, BH & CH, ce que n’ont pas les premieres. Et en ſuiuant le calcul auec ces ſix lettres, ſans les changer ny en adjoûter d’autres, par le chemin qu’a
pris Voſtre Alteſſe (car il eſt meilleur, pour cela, que celuy que i’auois propoſé), on doit venir à vne équation fort reguliere, & qui fournira vn Theoreme aſſez court. Car les trois lettres a, b, c, y ſont diſpoſées en meſme façon, & auſſi les trois d, e, f.
Mais, pour ce que le calcul en eſt ennuyeux, ſi Voſtre Alteſſe a deſir d’en faire l’eſſay, il luy ſera plus aiſé, en ſuppoſant que les trois cercles donnez s’entre-touchent, & n’employant, en tout le calcul, que les quatre lettres d, e, f, x, qui eſtant les rayons des quatre cercles, ont ſemblable rapport l’vne à l’autre. Et, en premier lieu, elle trouuera
où elle peut deſia remarquer que x eſt dans la ligne AK, comme e dans la ligne AD, pour ce qu’elle ſe trouue par le triangle AHC, comme l’autre par le triangle ABC. Puis enfin, elle aura cette équation,
de laquelle on tire, pour Theoreme, que les quatre ſommes, qui ſe produiſent en multipliant enſemble les quarrez de trois de ces rayons, font le double de ſix, qui ſe produiſent en multipliant deux de ces rayons l’vn par l’autre, & par les quarrez des deux autres ; ce qui ſuffit pour ſeruir de regle à trouuer le rayon du plus grand cercle qui puiſſe eſtre décrit entre les trois donnez qui s’entretouchent. Car, ſi les rayons de ces trois donnez ſont, par exemple, d 2 {\displaystyle {\frac {d}{2}}} e 3 {\displaystyle {\frac {e}{3}}} f 4 {\displaystyle {\frac {f}{4}}} . i’auray 576 pour ddeeff, & 36xx pour ddeexx, & ainſi des autres. D’où ie trouueray
ſi ie ne me ſuis trompé au calcul que ie viens de faire. Et Votre Alteſſe peut voir icy deux procedures fort differentes dans vne meſme queſtion, ſelon les differens deſſeins qu’on ſe propoſe. Car, voulant ſçauoir de quelle nature eſt la queſtion, & par quel biais on la peut ſoudre, ie prens pour données les lignes perpendiculaires ou paralleles, & ſuppoſe pluſieurs autres quantitez inconnuës, afin de ne faire aucune multiplication ſuperſluë, & voir mieux les plus courts chemins ; au lieu que, la voulant acheuer, ie prens pour donnez les coſtez du triangle, & ne ſuppoſe qu’vne lettre inconnuë. Mais il <y> a quantité de queſtions, où le meſme chemin conduit à l’vn & à l’autre, & ie ne doute point que Voſtre Alteſſe ne voye bien toſt iuſques où peut atteindre l’eſprit humain dans cette ſcience. Ie m’eſtimerois extremement heureux, ſi i’y pouuois contribuer quelque choſe, comme eſtant porté d’vn zele très-particulier à eſtre,
Madame,
De V. A.
Le tres-humble & tres-obeïſſant
ſeruiteur, descartes.
Comments
Loading comments…